ジョン・ナッシュ博士追悼－婚活ゲームでのナッシュ均衡を分析してみよう。

非協力ゲーム理論の解である「ナッシュ均衡」を提唱した数学者のジョン・ナッシュ博士（８６歳）が、妻のアリシアさん（８２歳）とともに、５月２３日に、アメリカのニュージャージーでタクシーに乗車中、交通事故に遭遇して亡くなったそうだ。

　ナッシュ博士と言えば、１９９４年にノーベル経済学賞を受賞している天才で、統合失調症で苦しんだその生涯は、ラッセル・クロウが主演してアカデミー賞の作品賞、監督賞などを受賞したハリウッド映画「ビューティフル・マインド」で描かれたため、とても有名である。

　ナッシュ博士と言えば、何よりも非協力ゲーム理論の「ナッシュ均衡」だが、その発想は拍子抜けするくらい、実は単純なものである。つまり、ゲームに参加している各プレイヤーの戦略（行動の選択肢）が他の全プレイヤーの戦略に対して最適反応になっている時、各プレイヤーは戦略を変更すると獲得利得が下がってしまうため、戦略を自ら変更する誘因を持たない。その戦略の組がナッシュ均衡点である。

　「ビューティフル・マインド」では、学生時代のナッシュがナッシュ均衡理論を発見したのが、バーに入ってきた３人の美女の誰にアプローチするかと考えた時、もし全員がナンバー１の美女に向かわなければ、皆が相手を得られることからインスピレーションが浮かんだことになっていた。これは、単に映画で話を面白くするための作り話だそうだが。

（岡田章先生の「ジョン・ナッシュの業績」<http://www.econ.hit-u.ac.jp/~aokada/essay_pdf/John_final.pdf>という文章を参照）。

　このように、ナッシュ均衡とはきわめて単純な発想に基づいている。岡田先生の上記文章にも、男女学生２人づつの恋愛ゲームを事例にナッシュ均衡が解説されているが、筆者も岡田先生の取り上げられた事例を少し変形して、婚活ゲーム状況を説明して遊んでみたいと思う。

問題

　今婚活に臨んでいる、AさんとBさんの結婚適齢期の男性２人がいます。なお、女性から客観的に見た魅力は、Aさんの方がBさんよりも高いとします。

　さて、AさんとBさんは、２人ともC子さんとD子さんのどちらかにアプローチしようと考えています。なお、C子さんとD子さんはどちらも魅力的ですが、ややC子さんの方がD子さんの魅力を上回っているものとします。つまり、AさんとBさんは、できればC子さんと結婚した方が、得られる利得（この場合は満足度、または効用）が高いわけです。

　さて、こうした状況の下で、はたしてAさんとBさんは、どちらの女性にアタックするのが最適な戦略でしょうか。

利得マトリクス（左数字がAの利得、右数字がBの利得）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Bの戦略

	C子にアタック	D子にアタック
C子にアタック	３,　０	３,　２
D子にアタック	２,　３	２,　０

　　 

Aの戦略

　さて、利得マトリクスを見ると、AさんはBさんよりも女性から見た魅力で優越しているので、Bさんの戦略に関わらず、C子さんにアタックするのが最適（これが支配戦略）である。

　他方で、Bさんは敢えてC子さんにアタックしても、Aさんが何故かD子さんにアタックする戦略を取った場合はC子さんと結婚できて高い利得３を得られるが、Aさんも同じくC子さんにアタックする戦略を選んだ場合、あえなく振られて利得０で撃沈してしまう。

　そこで、BさんはAさんがC子さんにアタックすると事前に読んで自分は敢えて冒険をせず、D子さんにアタックするのが最適な戦略となる。したがって、A→C子、B→D子の戦略の組が（純粋戦略での）ナッシュ均衡で、AはC子と結婚できてその獲得利得は３、BもD子と結婚できてその獲得利得は２となり、一旦この状態となれば、そこから戦略を変更する誘因をA、Bともに持っていない。これがナッシュ「均衡」点ということである。

　何だか、映画「ビューティフル・マインド」での３人の美女へのアプローチのケースにおけるナッシュのひらめきと同じく、もしも人間が合理的であると仮定すれば、この均衡点は、極めて説得力を持っているのではないだろうか。

　参考文献： Nash, J. F. (1950), "Equilibrium points in n-person games," Proceedings of the National Academy of Sciences USA 36, 48-49.